UC知道高数初等：用定义证明(x^3-1)/(x-1)→3(x→1)
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 10:39:57
本人前几天曾提过此问题，但因初到乍来，偶不幸把题目写错了，实在抱歉。baisimu及德运同学请耐心助我。（提问者自解遇惑）此题方法有二：
<1>∵│(x^3-1)/(x-1)-3│=│(x-1)(x+2)│＜ε只需│x-1│＜δ则│x-1+3│≤│x-1│+3＜δ+3∴│x-1││x+2│＜δ(δ+3)≤ε.现令δ(δ+3)=ε,解得δ=(ε+9/4)^(1/2)-3/2＞0.现只需│x-1│＜(ε+9/4)^(1/2)-3/2，则│(x^3-1)/(x-1)-3│＜ε，故所求极限为3（任意ε＞0存在δ＞0). □
<2>特殊值法，取ε=某个值，如1/2.此后证略（因此法公认可行).
对法一，老师说ε及δ顺序有问题，那问题在哪儿呢？老师没说（汗水）。
<1>∵│(x^3-1)/(x-1)-3│=│(x-1)(x+2)│＜ε只需│x-1│＜δ则│x-1+3│≤│x-1│+3＜δ+3∴│x-1││x+2│＜δ(δ+3)≤ε.现令δ(δ+3)=ε,解得δ=(ε+9/4)^(1/2)-3/2＞0.现只需│x-1│＜(ε+9/4)^(1/2)-3/2，则│(x^3-1)/(x-1)-3│＜ε，故所求极限为3（任意ε＞0存在δ＞0). □
<2>特殊值法，取ε=某个值，如1/2.此后证略（因此法公认可行).
对法一，老师说ε及δ顺序有问题，那问题在哪儿呢？老师没说（汗水）。
因为是求 x→1 时的极限, 我们只关心 1 的邻域(即 1 的周围)的情形. 所以, 不妨 设 x\in (0,2), 即 │x-1│＜1. 则
│(x^3-1)/(x-1)-3│=│(x-1)(x+2)│< 4|x-1|
任意ε＞0, 取δ=min{1, ε/4}, 则对一切满足 0<│x-1│＜δ 的 x, 都有 │(x^3-1)/(x-1)-3|＜ε. 得证.